Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{p}-p)$. Für eine Primzahl ${}q\neq p$ ist der Faserring über ${}(q)$ gleich ${}\mathbb {Z} /(q)[X]/(X^{p}-p)$. Da ${}p$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(q)$ ist, sind ${}X^{p}-p$ und die Ableitung ${}pX^{p-1}$ teilerfremd in ${}\mathbb {Z} /(q)[X]$ und daher ist nach Fakt ${}\mathbb {Z} _{p}[X]/(X^{p}-p)$ normal und die Verzweigungsordnung von

$\mathbb {Z} _{(q)}\longrightarrow R_{\mathfrak {q}},$

wobei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal oberhalb von ${}(q)$ bezeichnet, ist gleich ${}1$. Für ${}q=p$ ist das einzige Primideal oberhalb von ${}(p)$ das Hauptideal ${}(X)$, die Verzweigungsordnung in ${}p$ ist gleich ${}p$. Deshalb ist insgesamt ${}R$ der Zahlbereich zu ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/(X^{p}-p)$, und er ist nur im Punkt ${}(p)$ verzweigt.