Zahlbereiche/Hauptdivisoren/Prim und irreduzibel/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige die beiden folgenden Äquivalenzen:

Das Element ${}f$ ist genau dann prim, wenn der zugehörige Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Gestalt ${}1{\mathfrak {p}}$ mit einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ besitzt.

Das Element ${}f$ ist genau dann irreduzibel,

wenn ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ minimal unter allen effektiven Hauptdivisoren ${}\neq 0$ ist.

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