Zahlen/1 bis n/Quadratzahlen/Relative Häufigkeit/1/Aufgabe/Lösung

1. Zwischen ${}1$ und ${}n$ gibt es ${}\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor$ Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich

   ${}p(n)={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\,.$

2. Die Folge ${}p(n)$ ist weder wachsend noch fallend. Wenn ${}n+1$ keine Quadratzahl ist, so ist

   ${}\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$

   und somit ist

   ${}{\begin{aligned}p(n+1)&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor }{n+1}}\\&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n+1}}\\&<{\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\\&=p(n).\end{aligned}}$

   Wenn hingegen ${}n+1$ eine Quadratzahl ist, so ist

   ${}\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor +1\,$

   und somit ist

   ${}{\begin{aligned}p(n+1)&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n+1}}\right\rfloor }{n+1}}\\&={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor +1}{n+1}}\\&>{\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\\&=p(n),\end{aligned}}$

   wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus

   ${}n>\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$

   ergibt.

3. Die Folge konvergiert gegen ${}0$. Es ist

   ${}0\leq p(n)={\frac {\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor }{n}}\leq {\frac {\sqrt {n}}{n}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\,.$

   Da ${}{\frac {1}{\sqrt {n}}}$ eine Nullfolge ist, folgt mit dem Quetschkriterium, dass auch ${}p(n)$ eine Nullfolge ist.

Zur gelösten Aufgabe