Zahlenmengen/Übersicht/Textabschnitt

Ohne weitere Begründung können wir sagen, dass sich die Mathematik auch mit Zahlen beschäftigt. Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen.

${}\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}\,,$

die Menge der natürlichen Zahlen (mit der ${}0$).

${}\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}\,,$

die Menge der ganzen Zahlen,

${}\mathbb {Q} ={\left\{a/b\mid a\in \mathbb {Z} ,\,b\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\right\}}\,,$

die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.

Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen wie Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir bald erinnern werden. Die reellen Zahlen stellen wir uns als die Punkte einer Geraden vor, auf der sich auch die zuvor genannten Zahlenmengen befinden. Zugleich kann man ${}\mathbb {R}$ als die Menge aller (vor dem Komma endlichen, nach dem Komma eventuell unendlichen) Ziffernfolgen im Dezimalsystem auffassen. Wir werden im Laufe der Vorlesung alle entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen kennenlernen (die sogenannten Axiome der reellen Zahlen), aus denen man alle anderen Eigenschaften logisch herleiten kann und dann auch diese vorläufigen Sichtweisen präzisieren.