Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Existenz des Vorgängers/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Aussage (${}A(n)$)

$n=0{\text{ oder }}n{\text{ besitzt einen Vorgänger}}.$

Es ist zu zeigen, dass diese Aussage für alle ${}n\in \mathbb {N}$ stimmt. Dies zeigen wir durch Induktion über ${}n$. Der Induktionsanfang gilt, da bei ${}n=0$ die erste Teilaussage wahr ist. Es sei nun als Induktionsvoraussetzung die Aussage für ein ${}n$ wahr. Dann ist aber ${}n^{\prime }$ automatisch ein Nachfolger (nämlich der von ${}n$)

und somit ist die zweite Teilaussage für ${}n^{\prime }$ stets erfüllt, also auch die Gesamtaussage für ${}n^{\prime }$. Also gilt der Induktionsschritt und somit ist die Gesamtaussage für alle ${}n$ bewiesen.

Zur gelösten Aufgabe