Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis4

Beweis 3 zur Eindeutigkeit (Widerspruchsbeweis mit elementaren Mitteln nach Zermelo) 1. Beweisbedürftigkeit: Zunächst soll an einem Beispiel gezeigt werden, wieso die Eindeutigkeit der Primzerlegung nicht selbstverständlich ist. Angenommen, es gäbe nur gerade Zahlen. Dann wäre 2 eine Primzahl, aber auch 6 = 2*3, weil es 3 ja nicht gäbe, und auch 18 = 2*9 = 3*6, weil es weder 9 noch 3 gäbe. 2, 6 und 18 wären Primzahlen, es ist 36 = 2*18 = 6*6, und wir hätten 36 auf zwei verschiedene Arten in Primfaktoren zerlegt. 2. Angenommen, es gäbe Zahlen, die sich auf zwei verschiedene Arten in Primfaktoren zerlegen ließen. k sei die kleinste dieser Zahlen. Dann ist k = p1 p2...pn = q1 q2...qm mit primfaktoren pi und qj. a) Keines der pi kann eines der qj sein und umgekehrt. Sonst könnte man die Gleichung durch pi = qj teilen und hätte eine unterschiedliche Primfaktorzerlegung für eine Zahl < k. (Die pi müssen untereinander nicht verschieden sein, ebenso nicht die qj.) b) n und m sind beide ≥ 2, sonst stünde auf einer Seite der Gleichung nur eine Primzahl, die dann als Produkt anderer Primzahlen keine Primzahl sein könnte. 3. Die Primzahlen in obiger Darstellung seien so (ggf. durch Umstellen) geordnet, dass p1 die kleinste aller vorkommenden Primzahlen ist. Man bildet nun t = (q1 - p1) q2...qm = q1 q2...qm - p1 q2...qm = k - p1 q2...qm < k. Wegen q1 - p1 > 0 ist t positiv. Es gilt aber ebenso t = k - p1 q2...qm = p1 p2...pn - p1 q2...qm = p1 (p2...pn - q2...qm) und somit t = (q1 - p1) q2...qm = p1 (p2...pn - q2...qm) 4. Da k die kleinste Zahl sein soll, die auf 2 verschiedene Arten in Primfaktoren zerlegt werden kann und t < k ist, lässt sich t nur eindeutig in Primfaktoren zerlegen. p1 auf der rechten Seite der Gleichung ist keines der qj auf der linken Seite und muss daher in q1 - p1 enthalten sein, also q1-p1 = x*p1, x ≥ 1, also q1 = (x + 1)p1, somit wäre q1 zusammengesetzt (da x + 1 > 1 ist), also keine Primzahl im Widerspruch zu Voraussetzung.