Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe

Lemma von Euklid

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

Beweis

Da ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass ${}a$ das Produkt ${}bc$ teilt, schreiben wir als ${}bc=da$. Damit gilt

${}c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$

was zeigt, dass ${}c$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

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