Zahlentheorie/p-Bewertung/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl ${}n\neq 0$ bezeichne ${}\nu _{p}(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl ${}p$ in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt ${}\nu _{p}(nm)=\nu _{p}(n)+\nu _{p}(m)$.

c) Finde eine Fortsetzung ${}\nu _{p}\colon \mathbb {Q} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {Z}$ der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist (wobei ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ mit der Multiplikation und ${}\mathbb {Z}$ mit der Addition versehen ist).

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

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