Zariski-Topologie/Vergleich zu anderen Topologien/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

1. Man zeige, dass für ${}K=\mathbb {R}$ bzw. ${}K={\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
2. Man zeige, dass für ${}K[X]$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}n>1$?
3. Wann ist die Zariski-Topologie ${}T_{1}$, wann ist sie hausdorffsch?
4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist?

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