Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung

Es sei eine natürliche Zahl in der Form

$n=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+c_{0}10^{0}\,$

gegeben, wobei die ${}c_{i}$ beliebige natürliche Zahlen sind, also nicht unbedingt kleiner als ${}10$ sein müssen. Die zu ${}n$ gehörige Dezimalentwicklung erhält man sukzessive durch folgende Vorgehensweise. Man führt für ${}c_{0}$ die Division mit Rest durch ${}10$ durch und erhält eine Darstellung

${}c_{0}=10\cdot q_{0}+a_{0}\,$

mit einem Rest ${}a_{0}$, ${}0\leq a_{0}<10$. Damit ist

${}{\begin{aligned}n&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+c_{0}10^{0}\\&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+{\left(10\cdot q_{0}+a_{0}\right)}10^{0}\\&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+c_{1}10^{1}+q_{0}10+a_{0}10^{0}\\&=c_{k}10^{k}+c_{k-1}10^{k-1}+\cdots +c_{2}10^{2}+{\left(c_{1}+q_{0}\right)}10^{1}+a_{0}10^{0}.\end{aligned}}$

Somit haben wir eine neue Darstellung von ${}n$, bei der die Einerziffer kleiner als ${}10$ ist. Als nächstes arbeitet man den neuen Vorfaktor (also $c_{1}+q_{0}$) zu ${}10^{1}$ ab und bringt ihn auf die erlaubte Zifferngestalt, wobei der davor liegenden Vorfaktor wieder geändert wird. Dies führt letztlich zur Darstellung im Dezimalsystem.