Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung

Aus dem Beweis zu Fakt kann man ablesen, wie man zu einer irgendwie gegebenen natürlichen Zahl ${}n$ die Entwicklung im Zehnersystem erhält. Man dividiert die Zahl ${}n$ durch ${}10$ und der Rest ergibt die Endziffer. Dann zieht man von ${}n$ diesen Rest ab und weiß, dass diese Zahl ein Vielfaches von ${}10$ ist. Man dividiert sie durch ${}10$ und bestimmt für das Ergebnis erneut den Rest, der die Zehnerziffer gibt, u.s.w. Bei diesem Verfahren berechnet man also die Ziffern von hinten nach vorne.

Ein anderes Verfahren, bei dem man die Ziffern von vorne nach hinten berechnet, geht folgendermaßen: Man bestimmt die maximale Zehnerpotenz ${}10^{k}$, die in ${}n$ hineinpasst, es muss also

${}10^{k}\leq n<10^{k+1}\,$

gelten. Dann findet man das maximale Vielfache von ${}10^{k}$, das in ${}n$ hineinpasst, also die Zahl ${}z$ mit

${}z\cdot 10^{k}\leq n<(z+1)10^{k}\,.$

Diese Zahl muss zwischen ${}1$ und ${}9$ liegen. Der Wert

${}z=0\,$

kann nicht sein, da ansonsten ${}n<10^{k}$ im Widerspruch zur Wahl der Zehnerpotenz wäre, ein Wert ${}z\geq 10$ kann nicht sein, da ansonsten

${}n\geq z10^{k}\geq 10^{k+1}\,$

wäre, was wieder der Wahl der Zehnerpotenz widerspricht. Diese Ziffer ${}z=c_{k}$ ist dann die Anfangsziffer der Dezimalentwicklung. Nun rechnet man

$n-c_{k}10^{k}$

und weiß nach der Wahl von ${}k$ und ${}c_{k}$, dass diese neue Zahl ${}{\tilde {n}}$ echt kleiner als ${}10^{k}$ ist. Man bestimmt das maximale Vielfache von ${}10^{k-1}$ unterhalb von ${}{\tilde {n}}$, der Vorfaktor (der jetzt auch ${}0$ sein kann) ergibt die Ziffer ${}c_{k-1}$ und man zieht das Vielfache von ${}{\tilde {n}}$ ab und wiederholt das Verfahren.