Die beiden Zahlen seien
-
wobei wir eventuell auch vordere Nullen erlauben. Wir beweisen ein schrittweises Invarianzprinzip des schriftlichen Addierens, nämlich, dass nach dem
-ten Schritt
(
),
wenn die hinteren Ziffern
und die Übertragsziffern
schon berechnet sind, dass dann die jeweilige Summe
-

konstant ist
(also nicht von
abhängt),
und zwar gleich
. Diese Summen beschreiben eine Momentaufnahme des Algorithmus zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei bedeutet der Schritt
, dass noch keine Rechnung durchgeführt wurde. Am Anfang, bei
,
sind die beiden hinteren Summanden nicht vorhanden und vorne stehen
und
komplett, die Summe ist also
. Die Konstanz der Summen beweisen wir durch Induktion nach
, wobei wir den Fall
-

soeben behandelt haben. Sei nun die Konstanz
-

bereits bewiesen, und wir verarbeiten die
-Stelle. Gemäß dem Algorithmus addiert man
-
und schreibt dies als
-
mit
Somit ist

Wenn man in der Summe
die linke Seite der vorstehenden Gleichung durch die rechte Seite ersetzt, so erhält man gerade
, was die Gleichheit zeigt. Wenn man
hinreichend groß nimmt, hat man
und
verbraucht und die Summe
besteht dann allein aus der durch die Ziffern
gebildeten Zahl. Dies stimmt also mit der Summe
überein.