Zentrum/Normalteiler/Zusammenhang zu Konjugation/Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ${}Z\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

$\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

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