Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Nach Fakt ist ${}\varphi (\alpha _{i})$ wieder eine Nullstelle von ${}F$, daher muss ${}\varphi {\left(\alpha _{i}\right)}=\alpha _{j}$ für ein gewisses ${}j$ sein. Dies definiert ein Abbildung der Nullstellenmenge in sich selbst. Da ${}\varphi$ injektiv ist, ist auch diese induzierte Abbildung injektiv, also nach Fakt bijektiv und somit eine Permutation. Die Gesamtzuordnung ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus. Da die Nullstellen ein Erzeugendensystem des Zerfällungskörpers bilden, liegt nach Fakt ein injektiver Homomorphismus vor.

Zur bewiesenen Aussage