Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Graduierbarkeit/Kummer/Aufgabe/Lösung

1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung

   ${}{\begin{aligned}X^{4}-7&={\left(X-{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\right)}\\&={\left(X^{2}-{\sqrt {7}}\right)}{\left(X^{2}+{\sqrt {7}}\right)},\end{aligned}}$

   wobei ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ die positive reelle vierte Wurzel der ${}7$ bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der ${}7$ vorkommen. Diese vier Wurzeln müssen zum Zerfällungskörper ${}L$ gehören, daher ist insbesondere

   ${}{\frac {{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}}{\sqrt[{4}]{7}}}={\mathrm {i} }\,$

   ein Element von ${}L$. Es ist also

   ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}},{\mathrm {i} }]\,.$

2. Das Polynom ${}X^{4}-7$ ist irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$, da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}\mathbb {Q} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   die horizontalen Erweiterungen den Grad ${}4$ und die vertikalen Erweiterungen den Grad ${}2$ (da ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]$ reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad ${}8$.

3. Es liegt eine graduierte Körpererweiterung vor, wobei die graduierende Gruppe gleich ${}\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(2)$ ist, und wobei ${}{\sqrt[{4}]{7}}$ den Grad ${}(1,0)$ und die imaginäre Einheit den Grad ${}(0,1)$ bekommt.
4. Die Galoisgruppe enthält die Untergruppe ${}H$ der homogenen Automorphismen (die, die von Charakteren herrühren). Diese besteht neben der Identität aus (den durch diese Vorschriften festgelegten)

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },$

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto -{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto -{\mathrm {i} },$

   und somit ist ${}H\cong {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}$.

5. Es sei ${}\psi$ der durch

   ${\sqrt[{4}]{7}}\longmapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}},\,{\mathrm {i} }\longmapsto {\mathrm {i} },$

   festgelegte ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$-Automorphismus von ${}L$. Es sei ${}\varphi$ der zweite oben (im Display) aufgelistete homogene Automorphismus. Dann ist

   ${}{\left(\psi \circ \varphi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\psi ({\sqrt[{4}]{7}})={\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,$

   und

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}({\sqrt[{4}]{7}})=\varphi ({\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}})=-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{7}}\,.$

   Die Galoisgruppe ist also nicht kommutativ.

6. Da die Galoisgruppe nicht abelsch ist liegt keine Kummererweiterung vor.

Zur gelösten Aufgabe