Bei der Multiplikation mit
und mit
vereinfacht sich das in
Bemerkung
beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl
-

mit einer einstelligen Zahl
. Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen
(Division mit Rest)
-

mit
-

durchzuführen, wobei dadurch die
und die
rekursiv mit dem Startwert
festgelegt sind und wobei die
die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur
-

berechnen muss und die Ergebnisziffern
-

erhält. Insbesondere hängt
nur von
und
ab. Kurz gesagt: Die
-te Ziffer eines Produktes
mit
(oder mit
)
ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl
mit
bzw. mit
multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.
Zunächst sind nach
Fakt
bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl
die Überträge echt kleiner als
. Bei
kommen also nur die Überträge
oder
in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von
bzw.
durch
überein
(wenn man zu einer geraden Zahl eine
addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht),
Die Beziehung
folgt direkt.
Bei
kommen nur die Überträge
in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von
bzw.
durch
überein
(wenn man zu einer durch
teilbaren Zahl eine Zahl
addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht).
Die Beziehung
folgt wieder direkt.