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Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis
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Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt
Beweis
Wir betrachten die Körpererweiterung
K
p
=
Q
[
e
2
π
i
p
]
⊆
Q
[
e
2
π
i
p
e
]
=
K
p
e
.
{\displaystyle {}K_{p}=\mathbb {Q} [e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p}}]\subseteq \mathbb {Q} [e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p^{e}}}]=K_{p^{e}}\,.}
Sei
z
=
e
2
π
i
p
e
.
{\displaystyle {}z=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p^{e}}}\,.}
Dann ist
z
p
e
−
1
=
(
e
2
π
i
p
e
)
p
e
−
1
=
e
2
π
i
p
e
−
1
p
e
=
e
2
π
i
p
.
{\displaystyle {}z^{p^{e-1}}=(e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p^{e}}})^{p^{e-1}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }p^{e-1}}{p^{e}}}=e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{p}}\,.}
Zur bewiesenen Aussage