Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel

Zwischen zwei (punktförmig gedachten) Massen ${}M$ und ${}m$ bestehe der Abstand ${}R_{0}$. Aufgrund der Gravitation besitzt dieses System eine gewisse Lageenergie. Wie ändert sich die Lageenergie, wenn die beiden Massen auf einen Abstand von ${}R_{1}\geq R_{0}$ auseinander gezogen werden?

Die aufzubringende Energie ist Anziehungskraft mal Weg, wobei die Anziehungskraft allerdings selbst vom Abstand der Massen abhängt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft beim Abstand ${}r$ gleich

${}F(r)=\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,,$

wobei ${}\gamma$ die Gravitationskonstante bezeichnet. Daher ist die Energie (oder Arbeit), die man aufbringen muss, um den Abstand von ${}R_{0}$ auf ${}R_{1}$ zu erhöhen, gleich

${}E=\int _{R_{0}}^{R_{1}}\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm\int _{R_{0}}^{R_{1}}{\frac {1}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm{\left(-{\frac {1}{r}}|_{R_{0}}^{R_{1}}\right)}=\gamma Mm{\left({\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R_{1}}}\right)}\,.$

Damit kann man der Differenz der Lageenergien zum Abstand ${}R_{0}$ bzw. ${}R_{1}$ einen sinnvollen Wert zuweisen, nicht aber den Lageenergien selbst.