(1). Aufgrund von
Fakt
gibt es ein
derart, dass die
Hesse-Form
für alle
negativ definit
ist. Für alle Vektoren
,
,
gibt es nach
Fakt
ein
mit
-

wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf
Aufgabe
beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für
eine Zahl, die echt kleiner als
ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.
(2) wird wie (1) bewiesen oder durch Betrachten von
darauf zurückgeführt.
(3). Es sei
indefinit.
Dann gibt es Vektoren
und
mit
-
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für
für
aus einer offenen Umgebung von
(mit den gleichen Vektoren
und
).
Wir können durch Skalierung von
und
annehmen, dass
und
zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher
(
und
sind nicht
)
-

und
-

mit
.
Also kann in
kein lokales Extremum vorliegen.