Zweistellige Zahlen/Vertauschung/Differenz/Aufgabe/Lösung

1. Wenn man die Ziffern vertauscht und dann nochmal vertauscht, so erhält man die Ausgangszahl zurück. Daher ist

   ${}\varphi \circ \varphi =\operatorname {Id} \,$

   und somit ist die Abbildung bijektiv.

2. Dies sind die Zahlen der Form ${}a10+a$, diese nennt man Schnappszahlen.
3. Sei

   ${}x=a10+b\,$

   mit ${}a,b\in \{0,1,\ldots ,9\}$. Dann ist

   ${}\varphi (x)=b10+a\,.$

   Ohne Einschränkung sei

   ${}a\geq b\,,$

   also

   ${}x\geq \varphi (x)\,.$

   Dann ist

   ${}x-\varphi (x)=a10+b-(b10+a)=(a-b)10+(b-a)\,.$

   Bei ${}a=b$ steht hier ${}0$. Bei ${}a>b$ steht hinten eine negative Einerziffer, deshalb ist die korrekte Zifferndarstellung aus

   ${}(a-b)10+(b-a)=(a-b-1)10+(b-a)+10=(a-b-1)10+10+b-a\,$

   ablesbar. Die Quersumme ist

   ${}(a-b-1)+10+b-a=9\,.$

4. Es ist

   ${}2021=2\cdot 27+2\cdot 3+1=61\,.$

   Dies wird unter ${}\varphi$ auf ${}16$ abgebildet, und wegen

   ${}16=1\cdot 9+2\cdot 3+1\cdot 1\,$

   ist diese Zahl im Dreiersystem gleich ${}121$.

Zur gelösten Aufgabe