Zwischenwertsatz/Q/x^2-2/Beispiel

Die Abbildung

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{2}-2,$

ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für ${}x=0$ ist ${}f(0)=-2<0$ und für ${}x=2$ ist ${}f(2)=2>0$, es gibt aber kein ${}x\in \mathbb {Q}$ mit ${}f(x)=0$, da dafür ${}x^{2}=2$ sein muss, wofür es in ${}\mathbb {Q}$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.