Die
Untergruppen
der ganzen Zahlen sind nach
Fakt
von der Form
mit .
Die
Restklassengruppen
werden mit
-
bezeichnet
(sprich „ modulo “).
Bei
ist das einfach selbst, bei
ist das die
triviale Gruppe.
Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe definierte Äquivalenzrelation auf dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen
und
genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu gehört, also ein Vielfaches von ist. Daher ist
(bei )
jede ganze Zahl zu genau einer der Zahlen
-
äquivalent
(oder, wie man auch sagt, kongruent modulo ),
nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit bezeichnet. Dabei ist das neutrale Element, das negative Element zu ist und die Summe ist bzw. , falls
ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung
-
ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.