Zyklische Gruppe/Kanonische Darstellung/Beispiel

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form ${}\mathbb {Z} n$ mit ${}n\geq 0$. Die Restklassengruppen werden mit

$\mathbb {Z} /(n)$

bezeichnet (sprich „${}\mathbb {Z}$ modulo ${}n$“). Bei ${}n=0$ ist das einfach ${}\mathbb {Z}$ selbst, bei ${}n=1$ ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe ${}\mathbb {Z} n$ definierte Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Z}$ dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen ${}a$ und ${}b$ genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz ${}a-b$ zu ${}\mathbb {Z} n$ gehört, also ein Vielfaches von ${}n$ ist. Daher ist (bei ${}n\geq 1$) jede ganze Zahl zu genau einer der ${}n$ Zahlen

$0,1,2,\ldots ,n-1$

äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo ${}n$), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ${}n$ ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt ${}n$ Elemente. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(n),\,a\longmapsto [a]=a\!\!\!\mod n,$

ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt. Als Bild der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z}$ ist auch ${}\mathbb {Z} /(n)$ zyklisch, und zwar ist ${}1$ (aber auch ${}-1$) stets ein Erzeuger.