Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz
Der Residuensatz besagt, wie man das Integral einer holomorphen Funktion mit Hilfe Ihrer Residuen berechnen kann.
Aussage Bearbeiten
Es sei eine auf einem Gebiet mit Ausnahme einer diskrete Menge von isolierten Singularitäten holomorphe Funktion und ein in nullhomologer Zyklus, der keinen Punkt von trifft. Dann gilt
Beweis Bearbeiten
Die Summe in der Aussage des Residuensatzes ist endlich, da nur endlich viele Punkte der diskreten Menge aller Singularitäten umlaufen kann.
Schritt 1 - Reduktion auf endliche Anzahl von Summanden Bearbeiten
Seien nun die Punkte in , für die gilt. Die Singularitäten aus , die nicht umlaufen werden, werden mit .
Schritt 2 - Nullhomologer Zyklus Bearbeiten
ist nach Voraussetzung nullhomolog in . Nach der Definition von ist auch nullhomolog in .
Schritt 3 - Hauptteile der Laurent-Entwicklung Bearbeiten
Für die Singularitäten mit und sei
der Hauptteil der Laurententwicklung von um . Es ist eine auf holomorphe Funktion.
Schritt 4 - Subtraktion der Hauptteile Bearbeiten
Wenn man alle Hauptteile bzgl. von der gegebenen Funktion subtrahiert, erhält man mit
eine Funktion auf , die jetzt nur noch hebbare Singularitäten besitzt.
Schritt 5 - Holomorphe Fortsetzung auf G Bearbeiten
Wenn die Singularitäten hebbar auf sind, lässt sich holomorph in allen fortsetzen.
Schritt 6 - Anwendung Cauchyintegralsatz Bearbeiten
Es folgt nach dem Integralsatz von Cauchy für das Integral über
also ist, nach Definition von ,
Schritt 7 - Berechnung der Integrale über die Hauptteile Bearbeiten
Die Berechnung des Integrals über beschränkt sich damit auf die Berechnung der Integrale über die Hauptteile mit . Unter Verwendung der Lineariät des Integrals erhält man zunächst:
Die Funktionsterme besitzen für eine Stammfunktion und es gilt
Schritt 8 - Berechnung der Integrale über die Hauptteile Bearbeiten
Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung des Integrals über die Hauptteile mit der Definition der Umlaufzahl.
nach .
Schritt 9 - Berechnung der Integrale über die Residuen Bearbeiten
Insgesamt folgt die Behauptung mit
Fragen zum Residuensatz Bearbeiten
- Sei eine meromorphe Funktion (d.h. holomorph bis auf eine diskrete Menge von Singularitäten in ), Warum umrundet der Zyklus nur endlich viele Pole?
Anwendungen Bearbeiten
- Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion