- Die Pausenaufgabe
Oma Müller und Opa Müller haben heute Geburtstag. Sie wird Jahre alt und er wird Jahre alt. Wie alt waren sie, als man beide Altersangaben zwar mit natürlichen, aber nicht mit positiven natürlichen Zahlen ausdrücken konnte.
- Übungsaufgaben
Familie und notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form , wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
-
Familie notiert für die erste Jahreshälfte die Paare
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- Notiere für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mit Hilfe der Standardrepräsentanten.
- Berechne für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum.
- Bestimme auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit
(Standardrepräsentant).
- Vergleiche für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mit Hilfe der Festlegung aus
Lemma 40.4.
Ihre Fußballmannschaft hat das vorletzte Spiel mit und das letzte Spiel mit gewonnen. Welchen Sieg finden Sie überzeugender?
Zeige, dass man durch die Festlegung
-
auf
(dem
Äquivalenzklassenmodell
von)
eine
Verknüpfung
erhält, die
kommutativ
und
assoziativ
ist und die als
neutrales Element
besitzt.
Zeige, dass man durch die Festlegung
-
falls
-
auf
(dem Äquivalenzklassenmodell von)
eine
totale Ordnung
erhält.
Zeige, dass die Abbildung
-
injektiv ist und dass sie mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.
Zeige, dass die auf durch
-
festgelegte
Relation
eine
Äquivalenzrelation
ist.
Zeige, dass bei der auf durch
-
festgelegten
Äquivalenzrelation
jedes Paar einen Vertreter besitzt, bei dem
und
teilerfremd
sind.
Zeige, dass man durch die Festlegung
-
auf
(dem Äquivalenzklassenmodell von)
eine wohldefinierte Verknüpfung erhält, die kommutativ und assoziativ ist und die als neutrales Element besitzt. Zeige ferner, dass bei
die Klassen
und
und bei
die Klassen
und
invers zueinander sind.
Zeige, dass im
Äquivalenzklassenmodell
für die Addition die Beziehung
-
erfüllt.
Es sei mit der durch
-
festgelegten
Äquivalenzrelation
versehen. Zeige, dass es zu eine Zahl und ganze Zahlen mit gibt.
Zeige, dass die Abbildung
-
injektiv
und mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich ist.
Es sei eine Menge mit einer
kommutativen, assoziativen
Verknüpfung und einem neutralen Element . Ferner gelte die Kürzungsregel, dass aus
stets
folgt.
- Zeige, dass auf durch die Festlegung
,
falls
gilt, eine
Äquivalenzrelation
definiert wird.
- Zeige, dass man auf der Quotientenmenge eine
Gruppenstruktur
definieren kann, die die Verknüpfung auf fortsetzt.
Wir betrachten auf die durch
-
festgelegte
Relation.
Zeige, dass es sich um eine
Äquivalenzrelation
handelt, deren
Äquivalenzklassen
die „diskreten Geraden“ durch den Nullpunkt ohne den Nullpunkt sind.
Wir betrachten auf die durch
-
festgelegte
Relation.
Zeige, dass dies keine
Äquivalenzrelation
ist
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei die
Äquivalenzrelation
auf , die durch
,
falls
ist, festgelegt ist, und es sei die zugehörige Quotientenmenge, also das Äquivalenzklassenmodell von . Es sei das
(in der 18. Vorlesung eingeführte) „direkte Modell“ für die ganzen Zahlen. Wir betrachten die Abbildung
-
die durch
-
definiert ist, und die zusammengesetzte Abbildung
-
- Zeige, dass eine
bijektive Abbildung
ist.
- Zeige, dass mit der Addition verträglich ist.
- Zeige, dass mit der Multiplikation verträglich ist.
- Zeige, dass mit der Ordnung verträglich ist.
Zeige, dass im
Äquivalenzklassenmodell
für die Ordnung die Beziehung
-
genau dann, wenn
-
erfüllt.
Die Fußballspiele zwischen dem TSV Wildberg und VfB Effringen endeten in den letzten Jahren wie folgt:
-
- Erstelle die Äquivalenzklassen
(auf der Menge der angegebenen Ergebnisse)
gemäß der Äquivalenzrelation auf , die durch , definiert ist.
- Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf , die auf durch , definiert ist und für die und eigene Äquivalenzklassen sind.
- Erstelle die Äquivalenzklassen gemäß derjenigen Äquivalenzrelation auf , die auf durch , definiert ist und für die die anderen Elemente nur zu sich selbst äquivalent sind.