Lösung
- Man sagt, dass die Menge
eine Teilmenge von
ist, wenn jedes Element von
auch ein Element von
ist.
- Die Gaußklammer
ist durch
-
definiert.
- Die Funktion
-
heißt streng fallend, wenn
-
- Das Polynom
-
heißt das Taylor-Polynom vom Grad
zu
in
.
- Zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme
heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
- Zu
sei
diejenige
-Matrix, die entsteht, wenn man in
die erste Spalte und die
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
durch
-
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Existenz der Primfaktorzerlegung.
- Der Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen
.
- Der
Determinantenmultiplikationssatz.
Lösung
- Jede natürliche Zahl
,
,
besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren.
- Die Funktion
-
ist differenzierbar und ihre Ableitung ist
-
![{\displaystyle {}f'(x)=\alpha x^{\alpha -1}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bc165d8a2000de832b79e8630ec02290d3c0fd)
- Es sei
ein
Körper und
. Dann gilt für Matrizen
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b600cb0d6981143e39dcf968509209dd6d2e21)
Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.
Lösung Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Lösung
Berechne
-
Das Ergebnis soll in einer entsprechenden Form angegeben werden.
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}0{,}00000029=29\cdot 10^{-8}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985a625c5cb28e3767710a4fd57a9a96a62880fb)
und
-
![{\displaystyle {}0{,}00000000037=37\cdot 10^{-11}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c48f625ac1cbb0f456a5366b6e1d59302ecf0b)
Somit ist das Produkt
-
![{\displaystyle {}0{,}00000029\cdot 0{,}00000000037=29\cdot 10^{-8}\cdot 37\cdot 10^{-11}=29\cdot 37\cdot 10^{-19}=1073\cdot 10^{-19}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4007ec49f0297ecda71b88140520e49b6027d862)
Die Kommadarstellung davon ist
-
Zeige
-
![{\displaystyle {}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a083dfaa941f27cff1dcbb1574e347cf45a6625)
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}&=\sum _{k=1}^{n}{\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)}\\&={\left(1-{\frac {1}{2}}\right)}+{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)}+{\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)}+\cdots +{\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)}\\&=1-{\frac {1}{n+1}}\\&={\frac {n}{n+1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b5d73ed06a61be01b4ff05c08e011acdb4c621)
Berechne
-
Lösung
Nach
dem binomischen Lehrsatz
ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(x+{\mathrm {i} }y)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}y^{k}\\&=\sum _{k\leq n{\text{ gerade}}}(-1)^{k/2}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+{\mathrm {i} }{\left(\sum _{k\leq n{\text{ ungerade}}}(-1)^{(k-1)/2}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca5aad9da5f990bc26889d4e0c50613f1e8b9cf)
Lösung
Der Ansatz
-
![{\displaystyle {}P=aX+b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a12bc555271c96df1c7192c14658b32817b2116)
führt auf die beiden Gleichungen
-
![{\displaystyle {}a{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}+b=5-6{\mathrm {i} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e9b9ec31eca510cf85abd6b3d2467df5641e7e)
und
-
![{\displaystyle {}a{\left(2-7{\mathrm {i} }\right)}+b=4-3{\mathrm {i} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c416ebc430e03b01bc56c635889c13a46e03fc8)
besitzt. Somit ist
-
![{\displaystyle {}a{\left(1-{\mathrm {i} }\right)}=1-3{\mathrm {i} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/497bc9405deba4755d18f94c61e94592ecc85dfc)
und daher
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}a&={\left(1-{\mathrm {i} }\right)}^{-1}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+{\mathrm {i} }}{2}}{\left(1-3{\mathrm {i} }\right)}\\&={\frac {1+3-2{\mathrm {i} }}{2}}\\&=2-{\mathrm {i} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97463445d1d303381dce8ca6a7f398fc225e6157)
und
-
![{\displaystyle {}b=5-6{\mathrm {i} }-{\left(2-{\mathrm {i} }\right)}{\left(3-8{\mathrm {i} }\right)}=5-6{\mathrm {i} }+{\left(2+19{\mathrm {i} }\right)}=7+13{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f8964168ff634e260694a82b3b0cfe3e6aacb8)
Das gesuchte Polynom ist also
-
![{\displaystyle {}P={\left(2-{\mathrm {i} }\right)}X+7+13{\mathrm {i} }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65be63c9c332d5c58a43730a30fdf7d6e2011b0b)
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
-
![{\displaystyle {}ax^{2}+bx+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcf871b3f9c470a8e2db1156047185457ac3b86)
mit
,
.
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb44310a8125a1c4a6686b1787cbe7ba6cf2650)
vorausgesetzt, der Wurzelausdruck
ist nichtnegativ. Dies sieht man so: Die Bedingung
-
![{\displaystyle {}ax^{2}+bx+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcf871b3f9c470a8e2db1156047185457ac3b86)
ist äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f06928f20851bcb42cbd2f096c6f92c96e7cca)
was mittels quadratischem Ergänzen äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8b4f0272dfad3fd59a34e8ffe5c30265a992be)
ist. Umstellen und Erweitern liefert
-
![{\displaystyle {}{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)}^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40fa4aaa9a9af9c357a1ff7c399adde7a74e80c)
Dies ist äquivalent zu
-
![{\displaystyle {}x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de9f7e7ed9d9b86b20d72996379d2a8934e05f6)
und somit zu
-
![{\displaystyle {}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e654c7150936ab930ea13ad19114dde5b93fc651)
Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
-
Lösung
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Lösung
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle
positive
reelle Zahlen
sind. Es ist
-
![{\displaystyle {}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}\cdot q^{k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43c2302e02233d7739a36fb0ac085b3dfa8be0b)
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
geometrischen Reihe.
Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad
,
-
![{\displaystyle {}F(x)=x^{4}+rx^{3}+sx^{2}+tx+u\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7846c93abb2ce275317de644a229cfb6ef2466a7)
mit
.
Zeige, dass es Zahlen
mit
-
![{\displaystyle {}F(x)=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54354c8992b79e51d06c22f5e1d19ba7c071379d)
gibt.
Lösung
Es ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b17d59d0f018162bf020208a559f6ffd83e9a55)
Der Vergleich mit
führt auf das Gleichungssystem
-
![{\displaystyle {}-2(a+b)=r\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8468807bdada712040a1110cba387da9053e84e)
und
-
![{\displaystyle {}a^{2}+b^{2}+4ab=s\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8982d7d385850f7710a868f783bb3d56b40a3d)
Wir lösen die erste Gleichung nach
auf und erhalten
-
![{\displaystyle {}a=-b-{\frac {r}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d074abc756b867632ff2271c7a82e5d9aa3097f)
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}^{2}+b^{2}+4{\left(-b-{\frac {r}{2}}\right)}b&=b^{2}+br+{\frac {r^{2}}{4}}+b^{2}-4b^{2}-2rb\\&=-2b^{2}-rb+{\frac {r^{2}}{4}}\\&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b009fb937eb79d042ed763b763e04d3ae626c4)
Somit muss die quadratische Gleichung
-
![{\displaystyle {}b^{2}+{\frac {r}{2}}b-{\frac {r^{2}}{8}}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc344ec42f74c009d8f386496c26414c34185e3)
gelöst werden. Dies führt auf
-
![{\displaystyle {}{\left(b+{\frac {r}{4}}\right)}^{2}={\frac {r^{2}}{8}}+{\frac {r^{2}}{16}}={\frac {3r^{2}}{16}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa3010fe948074cbb7451de5867e930e39d0a92)
was stets eine Lösung besitzt. Die Lösungen sind
-
![{\displaystyle {}b={\frac {\pm {\sqrt {3}}r}{4}}-{\frac {r}{4}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0d0838d1a105942d0a0246168f296ea85a11ab)
wobei
dann die andere Lösung ist
(
und
sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt).
Mit diesen
und
hat man Übereinstimmung in den höheren Koeffizienten und durch Wahl des linearen Terms
kann man überhaupt Übereinstimmung erreichen.
Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.
Lösung
Aufgrund von
Satz 14.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
kann man
-
und
-
schreiben. Daher ergibt sich
(wenn man
durch
ersetzt)
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}g(f(x))&=g(f(a))+g'(f(a))(f(x)-f(a))+s(f(x))(f(x)-f(a))\\&=g(f(a))+g'(f(a)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}+s(f(x)){\left(f'(a)(x-a)+r(x)(x-a)\right)}\\&=g(f(a))+g'(f(a))f'(a)(x-a)+{\left(g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\right)}(x-a).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b6107a9b57e05b859523c2d0e99e0f6b112ed9)
Die hier ablesbare Restfunktion
-
![{\displaystyle {}t(x):=g'(f(a))r(x)+s(f(x))(f'(a)+r(x))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cefe3f2048906e08dd6666e2c336c6a2f96bf9)
ist stetig in
mit dem Wert
.
Bestimme das
Taylor-Polynom
vom Grad
der Funktion
-
im Entwicklungspunkt
.
Lösung
Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall
maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal
cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?
Lösung
Wir betrachten zur Exponentialreihe
die Teilpolynome
-
![{\displaystyle {}P_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\frac {x^{n}}{n!}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eda47176d068c91cce9f7932e439a2456554056)
Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit
-
und der Betrag davon soll für jedes
maximal gleich
sein. Wegen
-
![{\displaystyle {}\vert {\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\vert {\frac {x^{n}}{n!}}\vert \leq \sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13473e554cefc69629cd1cb6756ea6c5c60295fa)
müssen wir
so wählen, dass
-
![{\displaystyle {}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}\leq 0,001={\frac {1}{1000}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a608ea9065fa7dee86e6e5cf697be8fc73f93cda)
ist. Wir betrachten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{n=k+1}^{\infty }{\frac {5^{n}}{n!}}&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{(k+1+j)!}}5^{j}\right)}\\&={\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {5^{j}}{(k+2)(k+3)\cdots (k+1+j)}}\right)}\\&\leq {\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {5}{k+2}}\right)}^{j}\right)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6181adc10ebf165114bbf106d87d778e733eb0e1)
Bei
liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei
ist deren Wert maximal gleich
. Bei
(bzw.
)
können wir grob abschätzen
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {5^{k+1}}{(k+1)!}}&={\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5}{9}}\cdots {\frac {5}{5}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdots {\frac {5}{1}}\\&\leq {\frac {5}{k+1}}\cdot {\frac {5}{k}}\cdots {\frac {5}{10}}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-8}\cdot {\frac {5^{4}}{24}}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{k-13}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4a730a77b322a4518d9b5cb326b41c5fc61117)
Wegen
ist dies bei
kleiner als
. Daher ist
ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.
Bestimme eine
Stammfunktion
für die
Funktion
-
Lösung
Das Zählerpolynom ist die Ableitung des Nennerpolynoms, deshalb ist
-
eine Stammfunktion.
Löse das
inhomogene Gleichungssystem
-
Lösung
Wir eliminieren zuerst die Variable
, indem wir die erste Gleichung zweimal auf die vierte addieren. Dies führt auf
-
Nun eliminieren wir die Variable
, indem wir
(bezogen auf das vorhergehende System)
und
ausrechnen. Dies führt auf
-
Es ergibt sich nun wenn man die erste Gleichung mit 4 multipliziert und 3 mal die zweite subtrahiert
-
![{\displaystyle {}8x=-17\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e2e6835da2c944136d68236b5d1c137c78689c)
und
-
![{\displaystyle {}x=-{\frac {17}{8}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa594f5c789a1beddc5c425cb28fb1d819896b9)
Rückwärts gelesen ergibt sich
-
![{\displaystyle {}z={\frac {31}{8}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd90551ae1db9aef35f197018e7dddf83e7ed8f)
-
![{\displaystyle {}y=6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5568f11f199fc7f69f027ed5592222df576e645)
und
-
![{\displaystyle {}w={\frac {9}{28}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91edc4f7b3d06063747d340ee9e5630993b61fa9)
Lösung
Die Gesamtbedingung führt wegen
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}&ab+bd\\0&d^{2}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2488f75b2dc56636c4366ef01d6dfb3581622694)
auf
-
![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a^{2}&ab+bd\\0&d^{2}\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18500ae1eb806050e07cb585ecc8456c546f9a8a)
und somit auf die drei Bedingungen
-
![{\displaystyle {}a^{2}+3a-4=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e13fe457ca5d689f053a158064a68ee5cda4bdd)
-
![{\displaystyle {}d^{2}+3d-4=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184682b10fd0a8e59fd483450b0f5f2b4005a914)
und
-
![{\displaystyle {}(a+d+3)b=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4b7d4c94f087b667fcb182f90e8259082a2e235)
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt
-
![{\displaystyle {}a,d=1,-4\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da9340d9f145704fe9e1e649e79aa89b153d76e)
Bei
sind also
-
Lösungen. Bei
muss zusätzlich
-
![{\displaystyle {}a+d=-3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1c6c0ffefccf90bc7c7223c2b5ff051de9ebb4)
sein, und daher sind
-
weitere Lösungen.
Bestimme, ob die beiden Matrizen
-
zueinander
ähnlich
sind.
Lösung
Die Matrix
bildet
-
daher ist
.
Die Matrix
bildet
-
daher ist
.
Die beiden Matrizen können also nicht die gleiche lineare Abbildung beschreiben und sind somit nicht zueinander ähnlich.
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung
-
Lösung