Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen

Einführung

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Aus der Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen erhält man für  , dass es für alle   ein   und Konstanten   gibt, sodass für alle   gilt:

 

(siehe topologisch kleine Potenzen)

Definition: Topologische große Potenzen

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Sei   ein unitale topologische Algebra. Ein   besitzt topologisch große Potenzen ( ), wenn es für alle   ein   und Konstanten   gibt, sodass für alle   gilt:

 

Bemerkung

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Damit gilt unmittelbar  , weil die  -Eigenschaft als Negation der Eigenschaft, topologisch kleine Potenzen zu besitzen, formuliert wurde.

Topologisch kleine / große Potenzen

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Ein Element   aus einer topologischen Algebra   besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenzen, wenn es ein   gibt, so dass für alle   ein   mit

 

existiert. Dies ist die Negation für die Eigenschaft, dass   topologisch große Potenzen besitzt -  ).

TGP-Kriterium

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Ein Element   besitzt genau topologisch große Potenzen in  ,   (  , wenn es für alle   ein   und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen   mit positiven Konstanten   gibt, für die gilt:

  • (R1)  für alle   und   und
  • (R2)   für alle   und  .

Die Beweisführung basiert auf der Verwendung der topologischen Eigenschaft  , um eine Eindeutigkeit der Komplementärteiler   von Potenzen   für die multiplikative Zerlegung   für ein gegebenes   zu erhalten, wenn diese existiert. Die Teilermenge   der Komplementärteiler von Potenzen   zu   mit   wird dann verwendet, um die  -Funktionale   zu definieren.

Beweisidee

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Es ist eine Äquivalenz von   und den beiden Ungleichung aus dem Kriterium zu zeigen.

  • In Beweisteil (1) startet man mit   und zeigt (R1) und (R2).
  • In Beweisteil (2) startet man mit (R1) und (R2) als Vorausetzung und zeigt  .

Folge der Konstanten

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Ist zusätzlich zum obigen Satz eine weitere Folge   gegeben, so kann man die Konstantenfolgen   ohne Einschränkung so wählen, dass diese

  • monoton wachsend (d.h.   für alle  ) und
  •  

gilt.

Grund für Isotonie und Majorante

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Der Grund für die Konstruktion der Konstantenfolgen   mit den vorher genannten Eigenschaften ist die Notwendigkeit, dass man bei der Stetigkeit des Algebraisomorphismus Konstanten für die Gaugefunktionale in der Polynomalgebra abschätzen muss. Genauer gesagt, Koeffizienten der Form   für   mit einem Gaugefunktional mit Koeffizenten   für   abschätzen. Dabei muss gleichzeitig die Stetigkeit der Addition und Multiplikation erfüllt sein. Dabei muss die Konstantenfolge zusätzliche Eigenschaften berücktsichtigen, die über die Eigenschaft   in das TGP-Kriterium integriert werden können.

(1.1) Negation - Topologische kleine Potenzen

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Aus   erhält man über die Negation der  -Definition für   die Aussage, dass es für alle   ein   und Konstanten   gibt, sodass für alle   gilt:

 

(1.2) Stetigkeit der Multiplikation

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Über die Stetigkeit der Multiplikation zu dem   ein   mit

(1.3) Teilerdefinition in Algebren

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  ist eine Teiler von   genau dann, wenn es einen Komplementärteiler   gibt, mit  .

Analog erhält man   ist eine Teiler von   genau dann, wenn es einen Komplementärteiler   gibt, mit  .

(1.4) Eindeutigkeit der Komplementärteiler

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Der Komplementärteiler   von   bzgl.   ist mit der Regularitätsbedingung eindeutig bestimmt. Angenommen, es gibt zwei unterschiedliche Komplementärteile   mit   und  , so gibt es mit der Hausdorff-Eigenschaft ein   mit:

 

(1.5) Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung

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Abschätzung mit der TKP-Regularitätsbedingung führt zum Widerspruch, denn es gilt

 

(1.6) Definition von Teilermengen

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Nun definiert man mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler zu   bzgl.   folgende Mengen:

 

(1.7) Eigenschaften der Teilermengen

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  •   für alle   und  , denn  .
  •  , denn für   gibt es ein   mit  . Damit gilt die Gleichung   auch für   und man erhält  
  •  , denn mit der Eindeutigkeit der Komplementärteiler von   bzgl.   und   kann es maximal   Teiler von   in   geben.

(1.8) Definition ein Folge von Gaugefunktionalen

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Mit der Eigenschaft   definiert man eine Sequenz von Gaugefunktionalen.

 

(1.9) Ungleichung für Folge von Gaugefunktionalen

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(1.10) Erstes Gaugefunktional in der Sequenz

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Das erste Gaugefunktional für   in der Sequenz stimmt mit   überein, denn mit   gilt:

  •  
  •  

(1.11) Isotonie der Sequenz

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Die Isotonie der Sequenz   von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition und  :

 

(1.12) Abschätzung der Sequenz nach oben

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Die Isotonie der Sequenz   von Gaugefunktionalen ergibt sich unmittelbar aus der Definition:

 

(1.13) Homogenität

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Die Homogenität der Funktionale aus der Sequenz   ergibt sich unmittelbar aus der Definition denn mit   gilt auch  :

 

(2) Umgekehrte Beweisrichtung

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Existiert nun zu jedem   ein   und eine isotone Folge von  -Funktionalen   mit positiven Konstanten   gibt, für die gilt:

  • (R1)   für alle   und   und
  • (R2)   für alle   und  

(2.1) Umgekehrte Beweisrichtung - Einsetzen in Sequenz

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Durch Einsetzung erhält man   durch folgende Ungleichungskette:

 

(2.2) Stetigkeit der Multiplkation

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Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man die Potenz auch noch weiter nach ober abschätzen, denn es gilt:

 

Damit folgt insgesamt folgt die Behauptung.  

PC-Regularitätslemma

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Sei    -regulär in  , dann gibt es für alle   ein   und eine isotone Folge von Quasihalbnormen   mit der Stetigkeitskonstante der Addition   und positive Konstanten   gibt, für die gilt:

  • (PC1)   für alle   und   und
  • (PC2)   für alle   und  .

Das Element   sei ein  -reguläres Element in Algebra   und in einer Algebraerweiterung   von   invertiertbar.

Beweis 1 - Inverses Element in B

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Da   in   invertierbar ist, sei   das eindeutig bestimmte Inverse zu  . Ferner sei   der Algebraisomorphismus, der   in   einbettet.

Beweis 2 - Homöomorphie des Algebraisomorphismus

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Die Homöomorphie des Algebraisomorphismus   liefert

  • zu jedem   eine   mit  
  • zu jedem   gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein   mit   für alle   und
  • zu jedem   gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation ein   mit   für alle   und
  • zu jedem   gibt es ein   mit  .

Beweis 3 - Definition der Quasihalbnormen

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Zunächst werden Quasihalbnormen auf   wie folgt definiert mit  :

 

Dabei ist   eine monoton wachsende Folge, wegen

 .

Beweis 4 - Abschätzung mit den Ungleichungen

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Die Ungleichungskette ergibt sich durch die obigen Eigenschaften und  :

 

Beweis 5 - Definition der Konstanten

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Mit   erhält man die Ungleichung:

 

Beweis 6 - Abschätzung bezüglich z

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Mit   erhält man ferner:

 

Beweis 7- Stetigkeit und Homöomorphie

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Wahl der Konstanten   für die Ungleichungen aus dem  -Regularitätslemma erfolgt nun insgesamt über die Stetigkeit des Algebraisomorphismus   und von   und der Verwendung der Ungleichung für die Stetigkeit der Multiplikation auf  .

Bemerkung TGP-Kriterium

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In einer Beweisrichtung des TGP-Kriteriums kann man entnehmen, dass ein Sequenz von Gaugefunktionalen existiert, die man zwischen den gegeben Quasihalbnormen einschachteln kann. Damit ist noch nicht gesagt, dass diese Gaugefunktionale auch Quasihalbnormen sind.

Bemerkung

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Da die lokalkonvexen Räume ein Spezialfall der pseudokonvexen Räume ist, ergibt sich als Korrollar unmittelbar das LC-Regularitätslemma.

LC-Regularitätslemma

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Sei   ein  -regulär in  , wenn es für alle   ein   und eine isotone Folge von Halbnormen   mit positiven Konstanten   gibt, für die gilt:

  • (LC1)  für alle   und   und
  • (LC2)   für alle   und  .

Siehe auch

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