Es sei 
eine Menge und 
eine
Äquivalenzrelation
auf mit den
Äquivalenzklassen
![{\displaystyle {}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c77e93ebf488c686ab4b8693c04bdaae7e8446c)
und der
Quotientenmenge
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
genau dann, wenn
![{\displaystyle {}[x]=[y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e31c58238c766c691394b82eb0fc87a5ee0e3f)
ist, und dies gilt genau dann, wenn
![{\displaystyle {}[x]\cap [y]\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8deabd43cb75143b1c1b9f06f0e36376615fbc8)
.
![{\displaystyle {}M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9668500885987f8eed93223ae4a06593789272d8)
ist eine
disjunkte Vereinigung.
- Die
kanonische Projektion
-
![{\displaystyle q\colon M\longrightarrow M/\sim ,\,x\longmapsto [x],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93aad292fedc3d5bea8bf5fda10c02c2fc88b15e)
ist
surjektiv.
- Es ist
![{\displaystyle {}q^{-1}([x])=[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb173ce09d3ad591f00a1f6c6c00b0302da17c8)
.
- Sei
eine Abbildung mit
für alle
mit .
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung
mit
.
