Äquivalenzklassen/Partition/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Seien ${}x$ und ${}y$ äquivalent und ${}u\in [x]$. Dann ist ${}x\sim u$ und nach der Transitivität auch ${}y\sim u$, also ${}u\in [y]$. Damit stimmen die Äquivalenzklassen überein. Die Implikation von der Mitte nach rechts ist klar, da wegen ${}x\sim x$ Äquivalenzklassen nicht leer sind. Es sei nun ${}[x]\cap [y]\neq \emptyset$, und sei ${}z$ ein Element im Durchschnitt. Dann ist ${}x\sim z$ und ${}y\sim z$ und wegen der Transitivität ist ${}x\sim y$.
2. Wegen der Reflexivität ist ${}x\in [x]$ und daher ist ${}M=\bigcup _{[x]\in M/\sim }[x]$. Wegen Teil (1) ist die Vereinigung disjunkt.
3. Die Surjektivität ist klar aufgrund der Definition der Quotientenmenge, und da ${}x$ auf die Klasse ${}[x]$ geschickt wird.
4. Es ist

   ${}q^{-1}([x])={\left\{y\in M\mid q(y)=[x]\right\}}={\left\{y\in M\mid [y]=[x]\right\}}={\left\{y\in M\mid y\sim x\right\}}=[x]\,.$

5. Sei ${}[x]\in M/\sim$ gegeben. Die einzige Möglichkeit für ${}{\overline {\varphi }}$ ist ${}{\overline {\varphi }}([x]):=\varphi (x)$ zu setzen. Es muss aber gezeigt werden, dass diese Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Es sei hierzu ${}[x]=[y]$, also ${}x\sim y$. Dann ist nach der Voraussetzung an ${}\varphi$ aber ${}\varphi (x)=\varphi (y)$.

Zur bewiesenen Aussage