Überkreuzrelation/Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt

Die Idee für die Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ ist es, die Elemente aus ${}S$ zu Einheiten, zu Nennern, zu machen. Dabei soll natürlich wieder ein sinnvoller Ring entstehen. Von den rationalen Zahlen kennt man die Eigenschaft, dass ${}{\frac {r}{s}}={\frac {r'}{s'}}$ genau dann gilt, wenn ${}rs'=r's$ gilt, wodurch dir Gleichheit von Brüchen auf die Gleicheit innerhalb der ganzen Zahlen zurückgeführt wird. Diesen Ansatz muss man wegen möglicher Nullteiler etwas modifizieren.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf der Produktmenge ${}R\times S$ nennt man die durch

{}(r,s)\sim (r',s')\,,

falls es ein ${}t\in S$ mit ${}rs't=r'st$ gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.

Wenn ${}S$ nur aus Nichtnullteilern besteht, so braucht man den zusätzlichen Faktor ${}t$ nicht.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System.

Dann ist die Überkreuzrelation auf der Produktmenge ${}R\times S$ eine Äquivalenzrelation. Für die Äquivalenzklassen ${}{\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$ ist durch

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Addition und durch

{}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

Beweis

Siehe Aufgabe.

\Box

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme zu ${}S$ die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf ${}R\times S$ mit den in Fakt beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit ${}R_{S}$ bezeichnet.

Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus

R\longrightarrow R_{S},\,r\longmapsto {\frac {r}{1}}.

Die Elemente ${}s\in S$ aus dem multiplikativen System werden in ${}R_{S}$ zu Einheiten, und zwar ist ${}1/s$ das Inverse zu ${}s$ . Wenn ${}S$ nur aus Nuchtnullteilern besteht, so ist diese kanonische Abbildung injektiv. Wenn hingegen die ${}0$ zu ${}S$ gehört, so wird die Nenneraufnahme zum Nullring. Für die Nenneraufnahme an dem von einem Element ${}f$ erzeugten multiplikativen System schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ . Die Nenneraufnahme an ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ in einem Integritätsbereich spielt eine besondere Rolle. Dort werden sämtliche Elemente ${}\neq 0$ zu Einheiten und es entsteht ein Körper.

Definition

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

{}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

\varphi \colon R\longrightarrow A

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ für alle ${}s\in S$ ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss ${}{\tilde {\varphi }}{\left(1/s\right)}=(\varphi (s))^{-1}$ für ${}s\in S$ und damit ${}{\tilde {\varphi }}{\left(a/s\right)}=\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}$ sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.

Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${}{\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}$ mit ${}s,t\in S$ . Dies bedeutet, dass es ein ${}r\in S$ mit ${}rta=rsb$ gibt. Dann ist auch