(x,y) nach (sin x)e^y-3xy/Taylor-Polynom im Nullpunkt/Bis dritter Ordnung/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto e^{y}\sin x-3xy,$

und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung ${}3$ dazu im Nullpunkt berechnen. Das Taylor-Polynom der Ordnung ${}0$ ist das konstante Nullpolynom, da ${}f(0,0)=0$ ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung ${}1$ müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind

${\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{y}\cos x-3y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{y}\sin x-3x$

mit den Werten ${}1$ und ${}0$. Daher ist ${}x$ die lineare Approximation zu ${}f$, also das Taylor-Polynom der Ordnung ${}1$. Für das Taylor-Polynom der Ordnung ${}2$ berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-e^{y}\sin x\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{y}\cos x-3\,$

und

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{y}\sin x\,.$

Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind der Reihe nach ${}0,-2,0$, sodass das zweite Taylor-Polynom (also die quadratische Approximation) gleich

$x-2xy$

ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung ${}3$ berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-e^{y}\cos x\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=-e^{y}\sin x\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=e^{y}\cos x\,,$

und

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}=e^{y}\sin x\,.$

Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind ${}-1,0,1,0$, sodass (wegen $(3,0)!=6$ und $(1,2)!=2$) das dritte Taylor-Polynom gleich

$x-2xy-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{2}}xy^{2}$

ist.