Wir betrachten die Funktion
-
und wollen die Taylor-Polynome bis zur Ordnung
dazu im Nullpunkt berechnen. Das
Taylor-Polynom
der Ordnung
ist das konstante Nullpolynom, da
ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung
müssen wir die beiden partiellen Ableitungen ausrechnen. Diese sind
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mit den Werten
und
.
Daher ist
die lineare Approximation zu
, also das Taylor-Polynom der Ordnung
. Für das Taylor-Polynom der Ordnung
berechnen wir die zweiten Ableitungen, diese sind
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und
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Die Werte dieser zweiten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind der Reihe nach
, sodass das zweite Taylor-Polynom
(also die quadratische Approximation)
gleich
-
ist. Für das Taylor-Polynom der Ordnung
berechnen wir die dritten Ableitungen, diese sind
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-

und
-

Die Werte dieser dritten partiellen Ableitungen im Nullpunkt sind
, sodass
(wegen
und
)
das dritte Taylor-Polynom gleich
-
ist.