1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ die Menge der ${}1$-Formen auf ${}G$ mit Werten in ${}W$. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. ${}{\mathcal {E}}^{}(G,W)$ ist mit den natürlichen Operationen versehen ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum.
2. Zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$ und einer Funktion

   $f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   ist auch ${}f\omega \in {\mathcal {E}}^{}(G,W)$, wobei ${}f\omega$ durch

   ${}(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)\,$

   definiert ist.

3. Jede ${}C^{1}$-differenzierbare Abbildung

   $f\colon G\longrightarrow W$

   definiert über das totale Differential eine ${}1$-Differentialform

   $df=Df\colon G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {K} }{\left(V,W\right)},\,P\longmapsto \left(Df\right)_{P}.$

   Dies ergibt eine Abbildung

   $d\colon C^{1}(G,W)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{}(G,W),\,f\longmapsto df.$

4. Die Abbildung ${}d$ aus (3) ist ${}{\mathbb {K} }$-linear.

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