1-Form/K/Vektorräume/Koordinatendarstellung/Fakt

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die Koordinaten zu einer fixierten Basis auf ${}V$ mit den zugehörigen Differentialformen ${}dx_{i}$.

Dann lässt sich jede ${}W$-wertige ${}1$-Form ${}\omega$ auf ${}G$ eindeutig in der Form

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}dx_{i}\,$

mit ${}W$-wertigen Funktionen

$\psi _{i}\colon G\longrightarrow W$

schreiben. Zu einer total-differenzierbaren Funktion ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ ist die zugehörige ${}1$-Form in dieser Darstellung gleich

${}d\varphi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}dx_{i}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen