Abbildung/(x durch y, y durch 1+x^2)/Jacobi-Matrix/Kritischer Punkt/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix in ${}\left(x,\,y\right)$ ist

   ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {2xy}{(1+x^{2})^{2}}}&{\frac {1}{1+x^{2}}}\end{pmatrix}}.$

2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}{\frac {1}{y}}&-{\frac {x}{y^{2}}}\\-{\frac {2xy}{(1+x^{2})^{2}}}&{\frac {1}{1+x^{2}}}\end{pmatrix}}&={\frac {1}{y(1+x^{2})}}-{\frac {2x^{2}y}{(1+x^{2})^{2}y^{2}}}\\&={\frac {y(1+x^{2})-2x^{2}y}{(1+x^{2})^{2}y^{2}}}\\&={\frac {y-x^{2}y}{(1+x^{2})^{2}y^{2}}}.\end{aligned}}$

   Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix gleich ${}0$ ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Zähler

   ${}y-x^{2}y=y(1-x^{2})\,$

   gleich ${}0$ ist. Wegen ${}y>0$ ist dies genau bei

   ${}x=\pm 1\,$

   der Fall, die kritischen Punkte sind also ${}(1,y)$ und ${}(-1,y)$.

Zur gelösten Aufgabe