(1) (2). Es sei also bijektiv und wir müssen eine Abbildung mit den angegebenen Eigenschaften finden. Wir behaupten, dass die
Umkehrabbildung
diese Eigenschaften erfüllt. Für jedes
ist
.
Das Element wird auf abgebildet und es ist das einzige Element aus mit dieser Eigenschaft. Daher ist nach Definition der Umkehrabbildung
.
Also ist
.
Für jedes
ist
.
Nach der Definition von ist dasjenige Element aus , dass von auf abgebildet wird. Also ist
und damit ist
-
(2) (3) ist trivial, da das aus (2) sowohl die Eigenschaft von aus (3) als auch die Eigenschaft von aus (3) erfüllt.
(3) (1). Es gebe nun die Abbildungen
und mit den beschriebenen Eigenschaften. Wir möchten zeigen, dass dann bijektiv ist, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Zum Nachweis der Injektivität seien
-
Wir wenden darauf die Abbildung an und erhalten
-
Da
-
ist, folgt direkt
.
Zum Nachweis der Surjektivität sei
beliebig vorgegeben. Wir behaupten, dass
durch auf abgebildet wird. Dies folgt direkt aus
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