Es seien
und
Mengen und
-
und
-
Abbildungen.
Dann heißt die Abbildung
-
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und .
Eine Hintereinanderschaltung kann man sich durch ein Diagramm der Form
-
gut veranschaulichen.
Wenn die Abbildungen durch funktionale Ausdrücke gegeben sind, so erhält man die zusammengesetzte Abbildung, in den man den einen funktionalen Ausdruck in den anderen funktionalen Ausdruck einsetzt. Damit ist folgendes gemeint: Wenn
-
Funktionen sind, die durch
und
gegeben sind, so besitzt die zusammengesetzte Funktion
(also in der Ausführung zuerst !)
die Vorschrift
-
In der anderen Reihenfolge ergibt sich
-
Hier haben wir die beiden Funktionen mit unterschiedlichen Variablen geschrieben, was die Einsetzung dann erleichtert hat. Häufig muss man zuerst eine sinnvolle Umbenennung durchführen.
Es seien
und
Mengen und es seien
-
-
und
-
Abbildungen.
Dann ist
-
Es seien
und
Mengen und
-
und
-
Abbildungen
mit der
Hintereinanderschaltung
-
Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Wenn
und
injektiv
sind, so ist auch injektiv.
- Wenn
und
surjektiv
sind, so ist auch surjektiv.
- Wenn
und
bijektiv
sind, so ist auch bijektiv.
- Es seien
mit
-
gegeben. Aufgrund der Injektivität von folgt
-
und aufgrund der Injektivität von folgt
-
was die Injektivität von bedeutet.
- Sei
gegeben. Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein
mit
-
Aufgrund der Surjektivität von gibt es ein
mit
-
Insgesamt ist
-
es gibt also ein Urbild von und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.
- Folgt aus (1) und (2).