Abbildungsmenge/Endliche Definitionsmenge/Zugehörige Verteilungsabbildung/Klausur und Notenverteilung/Aufgabe

Es sei ${}D$ eine Schulklasse und

${}W=\{1,2,3,4,5,6\}\,$

die Menge der Schulnoten. Das Ergebnis einer Klausur ist eine Abbildung ${}f\colon D\rightarrow W$, wobei jedem Schüler ${}x\in D$ seine in der Klausur erzielte Note ${}f(x)$ zugeordnet wird. Die zugehörige Notenverteilung ist die Abbildung, die jeder Note ${}w\in W$ zuordnet, wie oft diese Note in der Klausur vergeben wurde. Die in Aufgabe besprochene Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)},\,f\longmapsto {\left(w\mapsto {\#\left(f^{-1}(w)\right)}\right)},$

ordnet also dem Klausurergebnis die Notenverteilung zu. Es sei nun

$\varphi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \mathbb {Q}$

die Abbildung, die jedem Klausurergebnis die Durchschnittsnote zuordnet.

1. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einem Klausurergebnis ${}f$.
2. Erstelle eine Formel für die Durchschnittsnote zu einer Notenverteilung ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {N}$.
3. Zeige, dass man die Durchschnittsnote zum Klausurergebnis ${}f$ allein aus der zugehörigen Notenverteilung ${}\Psi (f)$ berechnen kann.
4. Zeige, dass es eine Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)}\longrightarrow \mathbb {Q}$

   mit

   ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \Psi \,$

   gibt.

5. Aus welchen Notenverteilungen ist das Klausurergebnis rekonstruierbar?
6. Was ist eine sinnvolle Antwort auf die Frage „Wie ist die Klausur ausgefallen“?

Eine Lösung erstellen