Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}((f+g)\circ h)(x)&=(f+g)(h(x))\\&=f(h(x))+g(h(x))\\&=(f\circ h)(x)+(g\circ h)(x)\end{aligned}}$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$, somit ist

   ${}(f+g)\circ h=f\circ h+g\circ h\,$

   für beliebige ${}f,g,h\in \operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {R} ,\mathbb {R} \right)}$.

2. Es sei ${}h$ die Quadratabbildung, also

   ${}h(x)=x^{2}\,$

   und es sei

   ${}f=g\,$

   die identische Abbildung, also

   ${}f(x)=g(x)=x\,.$

   Dann ist einerseits

   ${}{\begin{aligned}(h\circ (f+g))(1)&=h((f+g)(1))\\&=h(f(1)+g(1))\\&=h(1+1)\\&=h(2)\\&=4\end{aligned}}$

   und andererseits

   ${}{\begin{aligned}(h\circ f+h\circ g)(1)&=(h\circ f)(1)+(h\circ g)(1)\\&=h(f(1))+h(g(1))\\&=h(1)+h(1)\\&=1+1\\&=2.\end{aligned}}$

   Somit ist

   ${}h\circ (f+g)\neq h\circ f+h\circ g\,.$

Zur gelösten Aufgabe