Ableitung/Hintereinanderschaltung/Induktion/Aufgabe/Lösung

Der Induktionsanfang für ${}n=1$ ist gesichert wegen

${}f'=f'\cdot 1=f'\cdot \prod _{i=1}^{0}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,.$

Es sei die Aussage für die ${}n$-te Hintereinanderschaltung schon bewiesen. Dann gilt unter Verwendung der Kettenregel (mit ${}f$ als äußerer und ${}f^{\circ n}$ als innerer Funktion) und der Induktionsvoraussetzung die Beziehung

${}{\begin{aligned}{\left(f^{\circ n+1}\right)}'&={\left(f\circ f^{\circ n}\right)}'\\&={\left(f'\circ f^{\circ n}\right)}\cdot {\left(f^{\circ n}\right)}'\\&={\left(f'\circ f^{\circ n}\right)}\cdot {\left(f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\right)}\\&=f'\cdot \prod _{i=1}^{n}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)},\end{aligned}}$

was die Aussage beweist.

Zur gelösten Aufgabe