Ableitung/R/Quadrieren/Direkt/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Der Differenzenquotient zu ${}a$ und ${}a+h$ ist

${}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {2ah+h^{2}}{h}}=2a+h\,.$

Der Limes davon für ${}h$ gegen ${}0$ ist ${}2a$. Die Ableitung von ${}f$ in ${}a$ ist daher ${}f'(a)=2a$.