Abstandsbedingung/10 mal 10/Punkteanzahl/Aufgabe/Lösung

Wir platzieren die Leute auf den Positionen
$(2i,2j),0\leq i,j\leq 5,$

das sind ${}6\cdot 6=36$ Leute.
Für Leute, die am Rand platziert sind, muss nicht der volle Umkreis innerhalb der vorgegebenen Fläche liegen.
Zu jeder Person gehört ein Umkreis mit Radius ${}1$ , und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt ${}\pi \cdot 1^{2}=\pi$ . Diese Flächen liegen zwar nicht ganz in der Gesamtfläche der Größe ${}10\cdot 10=100$ , da der Mittelpunkt aber zu der quadratischen ${}10\times 10$ -Fläche gehört, gibt es an den Rändern höchstens einen Überstand von ${}1$ . D.h. dass diese Kreise ganz in der umgebenden ${}12\times 12$ -Fläche liegt. Wegen
${}46\cdot \pi \geq 46\cdot 3,14=144,44>144=12^{2}\,$

ist dies für ${}46$ Personen nicht möglich.
Wir platzieren die Leute auf den Punkten eines Rasters, das aus gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge ${}2$ aufgebaut ist. Die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreieckes ist nach dem Satz von Pythagoras gleich ${}{\sqrt {3}}$ . Wegen
${}36\cdot 3=108<110,25=10,5^{2}\,$

ist

${}6{\sqrt {3}}\leq 10,5\,,$

daher kann man auf dem etwas größeren Rechteck nun sieben Zeilen platzieren (die erste Zeile sei der untere Rand des Rechtecks). Auf den Zeilen haben abwechselnd ${}6$ bzw. ${}5$ Leute Platz, dies ergibt ${}6+5+6+5+6+5+6=39$ Leute.