Affin-algebraische Menge/Hyperebenenschnitt/Anschauung/Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene affin-algebraische Menge

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von ${}V$ mit der Hyperebenenschar ${}V(X-c)$, ${}c\in K$, zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter ${}c$ variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche ${}V(f)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$) durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel.

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