Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Variablen. Bei ${}n=1$ folgt die Aussage daraus, dass ein Polynom vom Grad ${}d$ maximal ${}d$ Nullstellen besitzt. Zum Induktionsschritt sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das an allen Punkten von ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ verschwindet. Wir schreiben ${}F$ als

${}F=P_{d}X_{n}^{d}+P_{d-1}X_{n}^{d}+\cdots +P_{1}X_{0}+P_{0}\,$

mit Polynomen ${}P_{d},\ldots ,P_{0}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}]$. Wir müssen zeigen, dass ${}F=0$ ist, was zu ${}P_{i}=0$ für alle ${}i=0,\ldots ,d$ äquivalent ist. Es sei also (ohne Einschränkung) angenommen, dass ${}P_{d}$ nicht das Nullpolynom ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist es dann auch nicht die Nullfunktion, d.h. es gibt einen Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ mit ${}P_{d}(a_{1},\ldots ,a_{n-1})\neq 0$. Damit ist ${}F(a_{1},\ldots ,a_{n-1})$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X_{n}$ vom Grad ${}d$ und ist nach dem Fall einer Variablen nicht die Nullfunktion.

Zur bewiesenen Aussage