Affin-algebraische Mengen/Produktmenge/Aufgabe

Es seien

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\,$

mit ${}f_{1},\ldots ,f_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und

${}W=V(g_{1},\ldots ,g_{t})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

mit ${}g_{1},\ldots ,g_{t}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass die Produktmenge

${}V\times W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$

ebenfalls affin-algebraisch ist, und zwar von den Polynomen ${}f_{1},\ldots ,f_{s},g_{1},\ldots ,g_{t}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ bestimmt wird.

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