Affine Quadriken in zwei Variablen/Fünf Punkte/Es gibt Quadrik/Fakt/Beweis

Beweis

Jede Quadrik hat die Gestalt

${}F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta \,$

mit Koeffizienten ${}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\eta \in K$. Die Aussage beruht darauf, dass man hier sechs freie Variablen hat, denen fünf Bedingungen gegenüber stehen. Für die fünf Punkte ergeben sich die fünf Bedingungen

1. ${}\alpha x_{1}^{2}+\beta x_{1}y_{1}+\gamma y_{1}^{2}+\delta x_{1}+\epsilon y_{1}+\eta =0$
2. ${}\alpha x_{2}^{2}+\beta x_{2}y_{2}+\gamma y_{2}^{2}+\delta x_{2}+\epsilon y_{2}+\eta =0$
3. ${}\alpha x_{3}^{2}+\beta x_{3}y_{3}+\gamma y_{3}^{2}+\delta x_{3}+\epsilon y_{3}+\eta =0$
4. ${}\alpha x_{4}^{2}+\beta x_{4}y_{4}+\gamma y_{4}^{2}+\delta x_{4}+\epsilon y_{4}+\eta =0$
5. ${}\alpha x_{5}^{2}+\beta x_{5}y_{5}+\gamma y_{5}^{2}+\delta x_{5}+\epsilon y_{5}+\eta =0$.

Das sind fünf lineare Bedingungen in den sechs Variablen (hier sind also die griechischen Buchstaben die Variablen, nicht ${}x$ und ${}y$). Dafür gibt es eine nicht-triviale Lösung, bei der nicht alle Koeffizenten null sind. Sind in einer gefundenen Lösung ${}\alpha =\beta =\gamma =0$, so liegt zunächst die Gleichung einer Geraden, also keine Quadrik vor. Man kann daraus aber durch Multiplikation mit einer weiteren Geradengleichung eine Quadrik erhalten.

Zur bewiesenen Aussage