Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ein Punkt in definiert den Punkt in . Für ein Polynom und gilt für die Homogenisierung . Daher gilt insbesondere für alle Punkte und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal . Es ist also . Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm

vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von wird von einer Menge mit einem homogenen Ideal und mit und beschrieben.

Wir haben die Inklusion zu zeigen, was aus folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf homogen beschränken. Wir schreiben , so dass kein Vielfaches von ist. Da auf verschwindet und da eingeschränkt auf keine Nullstelle besitzt, folgt, dass auf verschwindet. Wir können also annehmen, dass kein Vielfaches von ist. Dann ist die Dehomogenisierung

die Nullfunktion auf und besitzt den gleichen Grad wie . Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört zu (wir können annehmen, dass ein Radikal ist).

Dann gehört aber auch , das sich aus durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von , also zu .