Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ein Punkt ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ definiert den Punkt ${}{\hat {P}}=\left(1,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Für ein Polynom ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}P$ gilt ${}F(P)={\hat {F}}({\hat {P}})$ für die Homogenisierung ${}{\hat {F}}$. Daher gilt insbesondere ${}{\hat {F}}({\hat {P}})=0$ für alle Punkte ${}P\in V({\mathfrak {a}})$ und alle homogenen Polynome aus dem homogenisierten Ideal ${}{\mathfrak {b}}$. Es ist also ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$. Damit liegt insgesamt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}V({\mathfrak {a}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V_{+}({\mathfrak {b}})&\\\downarrow &&\downarrow &\\{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor (wobei alle Abbildungen injektiv sind). Der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$ wird von einer Menge ${}V_{+}({\mathfrak {c}})$ mit einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {c}}$ und mit ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ und ${}V_{+}({\mathfrak {c}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {b}})$ beschrieben.

Wir haben die Inklusion ${}V_{+}({\mathfrak {b}})\subseteq V_{+}({\mathfrak {c}})$ zu zeigen, was aus ${}{\mathfrak {c}}\subseteq \operatorname {rad} \,({\mathfrak {b}})$ folgt. Da beides homogene Ideale sind, kann man sich auf ${}F\in {\mathfrak {c}}$ homogen beschränken. Wir schreiben ${}F=X_{0}^{r}G$, sodass ${}G$ kein Vielfaches von ${}X_{0}$ ist. Da ${}F$ auf ${}V({\mathfrak {a}})$ verschwindet und da ${}X_{0}$ eingeschränkt auf ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(X_{0})$ keine Nullstelle besitzt, folgt, dass ${}G$ auf ${}V({\mathfrak {a}})$ verschwindet. Wir können also annehmen, dass ${}F$ kein Vielfaches von ${}X_{0}$ ist. Dann ist die Dehomogenisierung

${}{\tilde {F}}=F(1,X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

die Nullfunktion auf ${}V({\mathfrak {a}})$ und besitzt den gleichen Grad wie ${}F$. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz gehört ${}{\tilde {F}}$ zu ${}{\mathfrak {a}}$ (wir können annehmen, dass ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal ist).

Dann gehört aber auch ${}F$, das sich aus ${}{\tilde {F}}$ durch Homogenisieren ergibt, zur Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$, also zu ${}{\mathfrak {b}}$.

Zur gelösten Aufgabe