Ohne Einschränkung sei der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal
im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal
in und dem zugehörigen maximalen Ideal
in . Wir betrachten die
-lineare Abbildung
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Dabei werden die Variablen auf die Standardvektoren abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element
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wird auf abgebildet. Ein homogenes Element
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besitzt zumindest den Grad und wird daher auf abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann . Insgesamt induziert dies eine -lineare Abbildung
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die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.
Nach
Fakt
ist
.
Unter der surjektiven Abbildung
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wird und auf abgebildet, und zwar ist der Kern genau . Somit gibt es eine -lineare Bijektion
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Wir betrachten die Abbildungen
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Ein Element
wird rechts genau dann auf geschickt, wenn der lineare Anteil von zu gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form
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modulo besteht und dies bedeutet
(für die ist nur der konstante Term relevant),
dass eine lineare Gleichung der Form
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Dies ist genau dann der Fall, wenn im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist
nach der Dimensionsformel
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Es sei nun die Dimension von im Punkt , die mit der Dimension des lokalen Ringes übereinstimmt. Nach Definition ist genau dann nichtsingulär, wenn
ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn
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ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.