Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ das von allen ${}F_{i}$, ${}i\in I$, erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass

${}V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$

(auf ${}V$) leer ist. Dann ist ${}V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja ${}V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von ${}1$, also ${}1$ selbst, zu ${}{\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.

Zur bewiesenen Aussage