Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R f/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die zum ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow R_{f}$ gehörende Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)},\,P\longmapsto P\circ \varphi ,$

die nach Fakt stetig ist. Es ist ${}f(P\circ \varphi )=P(\varphi (f))\neq 0$, da ja ${}f$ in ${}R_{f}$ eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von ${}\varphi ^{*}$ in ${}D(f)$.
Es sei ${}Q\in D(f)$ irgendein Punkt, d.h. ${}Q$ ist ein ${}K$-Algebrahomomorphismus ${}Q\colon R\rightarrow K$ mit ${}Q(f)\neq 0$. Dann ist ${}Q(f)$ eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) zu einem Homomorphismus von ${}R_{f}$ nach ${}K$ fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist ${}\varphi ^{*}$ als Abbildung nach ${}D(f)$ surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei ${}K$-Algebrahomomorphismen

$P_{1},P_{2}\colon R_{f}\longrightarrow K$

gegeben, deren Verknüpfungen mit

$R\longrightarrow R_{f}$

übereinstimmen. Wegen

${}P_{1}{\left({\frac {r}{f^{s}}}\right)}=P_{1}(rf^{-s})=P_{1}(r)P_{1}(f^{s})^{-1}\,$

und ebenso für ${}P_{2}$ ist dann aber ${}P_{1}=P_{2}$.
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R_{f}\right)}$ von ${}D(g)$, ${}g\in R_{f}$, überdeckt werden. Dabei kann man ${}g\in R$ annehmen, da ${}f$ eine Einheit in ${}R_{f}$ ist. Dann ist aber dieses ${}D(g)$ gleich ${}(\varphi ^{*})^{-1}(D(gf))$, wo letzteres ${}D(gf)$ die offene Menge in ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.

Zur bewiesenen Aussage