Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ das von den ${}F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass

${}\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$

leer ist. Dann ist ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von ${}1$, also ${}1$ selbst, zu ${}{\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${}{\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal ist.

Zur bewiesenen Aussage